(64/100160317)

پرسش:سلام

يك قضيه بديهي وجود دارد در منطق ارسطويي به ان نحو كه جز از كل خود كوچكتر است ولي در نظريه مجموعه ها كانتور يك قضيه دارد و نشان مي دهد كه در مجموعه هاي بي نهايت جز از كلش كوچكتر نيست مثلا مجموعه اعداد زوج طبيعي كه زير مجموعه كل اعداد طبيعي است را مي شمارد يعني مي تواند آن را پوشش دهد يعني جز از كل آن كوچكتر نيست.

حال دو سول

ايا توجيهي براي اين قضيه داريد؟

آيا همه رياضيات يقيني است و استدلال آن عقلي است يا برخي امور قرار دادي(يعني اموري كه با يك سري اصول موضوعه اثبات نشده شروع به ساختن ساختمان رياضي جديد مي كند)در آن وجود دارد؟

 

پاسخ:

1ـ تعريف مجموعه ي اعداد طبيعي چنين است: مجموعه اي از اعداد ـ زوج و فرد ـ كه اوّلين عضو آن يك مي باشد، و هر عضو بعدي، يك واحد از عضو قبلي بزرگتر است.

تعريف اعداد طبيعي زوج چنين است: زير مجموعه اي از مجموعه اعداد طبيعي كه اوّلين عضو آن 2 مي باشد و هر عضوي از عضو قبلي، دو واحد بزرگتر است.

طبق اين تعاريف، شكّي نيست كه تعداد اعضاي مجموعه اعداد طبيعي، همواره دو برابر تعداد اعضاي مجموعه اعداد طبيعي زوج خواهد بود؛ اگر چه تعداد اعضاي هر دو مجموعه، بي نهايت باشد.

امّا برخي ها اعداد طبيعي زوج را چنين تعريف مي كنند: مجموعه اي از اعداد كه از ضرب عدد 2 در اعداد طبيعي به دست مي آيند.

اين تعريف، اگر چه ظاهراً درست مي باشد، امّا منطقاً غلط است. چون اوّلاً اعداد زوج، خودشان جزئي از اعداد طبيعي اند. ثانياً عدد 2 خودش هم جزئي از اعداد زوج است. پس اعداد زوج، از ضرب عدد 2 در اعداد طبيعي و از جمله از ضرب در خود اعداد طبيعي زوج به دست نمي آيند. معني ندارد كه ما اعداد زوج را از ضرب عدد در خود اعداد زوج به همراه ضرب در اعداد فرد به دست آوريم.

كانتور با همين تعريف دوم (تعريف غير منطقي) است كه دست به چنان مغالطه اي زده است.

طبق تعريف نخست، تعداد اعضاي مجموعه اعداد طبيعي زوج، نصف تعداد اعضاي مجموعه اعداد طبيعي خواهد بود؛ يعني اگر تعداد اعضاي مجموعه اعداد طبيعي را x بناميم و تعداد اعضاي مجموعه اعداد طبيعي زوج را y بناميم، x بر y در حالي كه x و y به بي نهايت ميل مي كنند، برابر خواهد بود با عدد 2.

امّا طبق تعريف دوم (تعريف غير منطقي)، x بر y وقتي كه هر دو به بي نهايت ميل مي كنند، برابر خواهد بود با عدد يك.

پس ريشه ي مغالطه ي كانتور بر مي گردد به تعريف او از عدد زوج. او عدد طبيعي زوج را 2k تعريف كرده و k را عضو اعداد طبيعي شمرده است؛ حال آنكه اين تعريف، منطقاً غلط است. چون خود k گاه اعداد طبيعي زوج هستند.

پس دو مجموعه به نام «مجموعه ي اعداد زوج» وجود دارند؛ يكي مجموعه اعداد زوجي كه زير مجموعه ي اعداد طبيعي اند، و دومي مجموعه اعداد زوجي كه از ضرب عدد 2 در تك تك اعداد طبيعي حاصل مي شوند. روشن است كه مجموعه اعداد طبيعي زوج دوم، دو برابر مجموعه اعداد زوج نخست، عضو خواهد داشت. و باز روشن است كه مجموعه اعداد زوج دوم زير مجموعه ي اعداد طبيعي نيست، تا جزء آن قلمداد شود بلكه اين مجموعه، در واقع مجموعه اعضاي اعداد طبيعي ضرب شده در عدد 2 است.

 

2ـ ادّعای کانتور، خودش را خفه می کند.

فرض کنیم که جزء، از کلّ خود کوچکتر نباشد. در این صورت، اجتماع نقیضین جایز خواهد شد. و اگر اجتماع نقیضین جایز شد، هر استدلالی بی معنی خواهد شد. چون اساس تمام استدلالها استحاله ی تناقض است. و اگر استدلال بی معنی شد، تمام استدلالهای کانتور نیز ارزش خود را از دست خواهند داد. پس فرضیّه ی کانتور، خودش خودش را حلق آویز می کند؛ یعنی از فرض درستی فرضیّه ی کانتور، نادرستی فرضیّه ی او لازم می آید.

 

3ـ همه ي مسائل رياضيّات يقيني نيستند؛ براي مثال، هندسه ي اقليدسي درست است يا هندسه هاي نا اقليدسي؟ تفاوت اينها در يكي از اصول موضوعه هاي هندسه ي اقليدسي است.

در خود همين مطلبي هم كه گفتيم متوجّه شديد كه چه مغالطه هاي ظريفي در وادي رياضيّات ممكن است رخ دهد، آن هم در تعاريف بنيادي.